sábado, 10 de noviembre de 2012

funciones trigonométricas


as Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectánguloasociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
FunciónAbreviaturaEquivalencias (en radianes)
Senosin (sen) \sin \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,
Cosenocos\cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\tan \theta} \,
Tangentetan\tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \,
Cotangentectg (cot)\cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \,
Secantesec\sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sin \theta} \,
Cosecantecsc (cosec)\csc \theta \equiv \frac{1}{\sin \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,

[editar]Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Trigono a10.svg
Para definir las razones trigonométricas del ángulo:  \alpha , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
  • La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
  • El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo  \alpha .
  • El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo  \alpha .
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes(o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
\sin \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo  \alpha  , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}.
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}.
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}.

[editar]Funciones trigonométricas de ángulos notables

0°30°45°60°90°
sen0\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}1
cos1\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}0
tan0\frac{\sqrt{3}}{3}1\sqrt{3}\infty

[editar]Definición para un número real cualquiera

No es posible utilizar la definición dada anteriormente del seno o el coseno de \alpha para valores de \alpha menores o iguales a 0 o valores mayores o iguales a π/2, pues no se podría construir un triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida \alpha radianes. Para definir los valores de estas funciones para valores comprendidos entre 0 y 2π, se utilizará entonces una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. Se definirán las funciones trigonométricas seno y coseno como la abscisa y la ordenada, respectivamente, de un punto P perteneciente a la misma, siendo \alpha el ángulo, medido en radianes, entre el semieje positivo x y el segmento que une el origen con P.
Seno y coseno.gif
Puede observarse que estas funciones toman valores entre -1 y 1. Nótese que para valores entre 0 y π/2, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden con los obtenidos utilizando la noción de razón trigonométrica. Si el valor de x esta fuera del intervalo [0,2π], puede descomponerse como x=2kπ+x' siendo k un número entero y x' un valor entre 0 y 2π. Se asignará a x los mismos valores de seno y coseno que los asignados a x', ya que puede interpretarse a x como un ángulo coterminal con x', y por lo tanto, las coordenadas del punto P serán las mismas en ambos casos.

[editar]Representación gráfica

FunTriR333.svg
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FORMATOS DE BIBLIA

La Biblia Hebrea que solo contiene el Antiguo Testamento en su versión corta o canon hebreo, es decir, los libros que fueron escrito originalmente en hebreo.

La Septuaginta, o de los setenta, contiene el Antiguo Testamento en su canon griego o largo. Fue llamada así porque según la tradición fue traducida entre el siglo III y II a.C. en Alejandría por 72 sabios judios en 72 días. El canon largo añade los libros que no fueron escritos originalmente en hebreo o cuyo original hebreo no se ha conservado: Tobias, Judit, 1 y 2 Macabeos, Sabiduría, Eclesiástico y Baruc. Fue utilizada por los judíos de la diáspora que se manejaban mejor en griego que en hebreo. Añadiendo el Nuevo Testamento, es la Biblia más utilizada por la Iglesia Ortodoxa.

Las biblias católicas que obviamente incluyen el Nuevo Testamento y que en el Antiguo también aplican el canon griego con los 6 libros Deuterocanónicos. Aquí tendríamos la Vulgata que es una traducción del hebreo al latín hecha por San Jerónimo en el siglo V. La más moderna Nueva Biblia de Jerusalén, que entiendo que utiliza fuentes diferentes y que también se diferencian en sus fuentes con la Septuaginta y en el orden de los libros, o al menos los desglosan de forma diferente. Y la Nueva Biblia Española, que es la más común actualmente, añade la Carta de Jeremias. La primera Biblia traducida del latín al castellano fue la promovida por Alfonso X el Sabio.

Las biblias protestantes también incluyen el Nuevo Testamento pero que en su Antiguo Testamento aplican el canon hebreo y consideran apócrifos a los libros deuterocanónicos. Entre éstas destaco la Biblia de Lutero, tras la reforma. 

La versión de Reina y Valera, monjes católicos del siglo XVI simpatizantes de la reforma luterana, fue la primera traducción al español hecha directamente de textos originales hebreos, arameos y griegos.

Las biblias anglicanas que creo que incluyen aún más libros en el Antiguo Testamento que el canon griego como la versión del Rey Jaime (King James Versión).

Y aún hay más pero entre ellas creo que también esta disponible una Biblia Standard que en el Antiguo Testamente incluye todos los libros anteriores y más.

Vamos, todo un lío para que cualquiera que vaya a comprarse una Biblia pueda identificar a que versión pertenece a no ser que esté bien explicado en la introducción y eso no siempre sucede así. 
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FISICA:MOVIMIENTO RECTILINIO


Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
Cine_02.gif (1315 bytes)
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
  •  2 y 3 s.
  •  2 y 2.1 s.
  •  2 y 2.01 s.
  •  2 y 2.001 s.
  •  2 y 2.0001 s.
  •  Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s)
x’ (m)
Δx=x'-x
Δt=t'-t
 m/s
3
46
25
1
25
2.1
23.05
2.05
0.1
20.5
2.01
21.2005
0.2005
0.01
20.05
2.001
21.020005
0.020005
0.001
20.005
2.0001
21.00200005
0.00200005
0.0001
20.0005
 ...
  ...
 ...
 ...
 ...

0
20
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
  • La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
  • La posición del móvil en el instante t+Dt es  x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1
  • El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2
  • La velocidad media <v> es
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.
En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleración


En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de
  • La velocidad
  • La aceleración del móvil en función del tiempo.

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento

Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.

Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad

Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.

En la figura,  el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.
Ejemplo:
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son


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